Del orden al caos (I)

¿Como se crea un modelo fisico de una porcion de realidad?

Una pregunta que rondara es “¿que tiene que ver una recta o una parabola con un sistema fisico realista?”. Efectivamente ahora es el momento de dar ese triple salto mortal. He de repetirme un poco y volver a nombrar las dichosas ecuaciones diferenciales o ED pues son el nucleo fundamental en esto del caos, que dicho sea de paso todavia esta lejos. Estas son el tipo de ecuaciones que gobiernan la mayor parte de los modelos de sistemas observables en la naturaleza, desde la corriente electrica en un circuito a las llamas de un incendio o el flujo turbulento, desde la ecuacion de Schroedinger para sistemas subatomicos a la explosion de una supernova o la evolucion de la geometria del espacio tiempo que sostiene el universo. Su principal restriccion reside en que el sistema al que modele debe evolucionar en un espacio cuyas variables (espaciales, tiempo o cualesquiera otras) sean un medio continuo. Por ejemplo no valdrian para modelar un sistema cuyas variables sean numeros enteros. Estos no forman un continuo. En ese caso se modelan mediante ecuaciones en diferencias o de variable discreta.

Para modelar un “algo” del universo que nos rodea debemos recurrir primero a la extraccion de su esencia fisica. Por supuesto que la complejidad del sistema mas simple que se ocurra es enorme si miramos donde no debemos. Por ejemplo, al modelar un pendulo (una bola colgada de un hilo y puesta a oscilar) podemos perdernos en “detalles” que no afectan al resultado y que, en cambio complican mucho las ecuaciones. Si queremos tener en cuenta el rozamiento del aire, la tension y/o rigidez a flexion o torsion del hilo, la no esfericidad de la bola, la rotacion de la tierra (este efecto es lo que define el pendulo de Foucault) , etc...no acabamos nunca y la influencia de todos estos efectos son despreciables en primera aproximacion. Por eso hay que centrarse en lo verdaderamente importante y esto, amigos mios, es el quid de la cuestion. No hay quien nos diga, sino la intuicion las mas de las veces, lo que es esencial al problema y lo que es accesorio (como en la vida misma).

Una vez que sabemos o intuimos que variables o efectos son esenciales (solo estas variables apareceran en las ecuaciones) en el comportamiento del sistema debemos recurrir a la observacion y reflexion para establecer las ecuaciones que las gobiernan. En gran parte de las ocasiones hay leyes de conservacion (asi se llaman) que nos dicen que hay cantidades en tales sistemas que se conservan, por ejemplo la masa, la energia, la carga electrica o la cantidad de movimiento. Si se ha observado que la energia se conserva esto se traduce en una ecuacion (si, diferencial, las mas de las veces). La ecuacion que todos conocemos de “la suma de la energia cinetica mas potencial es constante” no era una ED efectivamente. O al menos eso parece. Es un caso muy sencillo en el que la ley de conservacion de la energia se aplicaba a un punto o a un sistema de particulas o a un solido rigido, como mucho, en un entorno sin friccion (sistemas conservativos versus disipativos). Cuando los sistemas considerados presentan ligaduras entre los elementos que lo forman y estos son muchos, la ecuacion diferencial es el enfoque adecuado. Considerando el movimiento de una bola al tirarla una aproximacion bastante buena es considerarla como un punto pero a veces, si su forma no es esferica (una pera o un palo por ejemplo) se debe considerar su movimiento de rotacion añadido al de traslacion. Si en lugar de ser un palo (infinitamente rigido) es un palo de plastilina (un ejemplo extremo) hay que considerar que ademas de traslacion y rotacion veremos deformaciones.

Al pasar de la bola a un palo rigido lo que hacemos es considerar que el palo es un aglomerado de particulas o de bolas y resolvemos el movimiento de cada particula teniendo en cuenta una relacion adicional que caracteriza un cuerpo solido. De esta forma se ha aumentado el numero de ED pero no su complejidad (al menos no mucho).

Al pasar del palo rigido al deformable hemos pasado de una ecuacion diferencial (o muchas) cuya variable independiente es el tiempo (ordinaria) a una ED en derivadas parciales en que ademas de t tenemos deformaciones o variaciones en x (dentro del propio palo, no de su centro de gravedad).

Para resolver el movimiento de la bola se aplica la segunda ley de Newton (fuerza igual a masa por aceleracion, F=m dv/dt) que es una ecuacion diferencial vectorial, mas o menos sencilla dependiendo de la forma exacta que tenga la fuerza aplicada. En casos muy especiales se puede resolver (normalmente le decimos integrar) analiticamente de forma que da un resultado como el de la energia que he enunciado antes y que no es una ED aparentemente. La energia cinetica es v² y la potencial suele depender de una variable espacial, x por ejemplo, o sea que al final lo que dice (y me resistia a escribir) es:

con a,b y K constantes o parametros conocidos. Ahora surge el problema de ver como, a partir de esta ecuacion, somos capaces de calcular la trayectoria del sistema al que describe (y que es el mas simple que se me ocurre). La unica manera que se es introduciendo otra relacion que es la definicion de la velocidad:

Si se tienen en cuanta las dos ya se tiene una ED. Las variables son x y dx/dt y su solucion es una funcion x=f(t) tal que al derivarla para obtener v, elevarla al cuadrado y meterla en la ecuacion de la energia se verifique automaticamente. Esto no ocurre para cualquier funcion del tiempo que se nos ocurra y la unica que verifica la ED es la que llamamos trayectoria del sistema.

Antes he dicho que cada sistema puede caracterizarse por una ED y es cierto pero imaginemos un ejemplo que hara surgir una rendija de duda esclarecedora. Supongamos que disponemos de una ED que nos da, si es que somos capaces de resolverla y supongamos que asi es, la evolucion del motor de un coche y fijemos la atencion en la temperatura de uno de los pistones. Si, es muy rebuscado pero no importa. Si pintamos la variacion de la temperatura en el tiempo T₁(t) cuando vamos desde Madrid a Valladolid es distinta que T₂(t) cuando vamos de Valladolid a Madrid. Pero si el sistema y la ED (que son dos formas de referirse a lo mismo) son el mismo en ambos recorridos ¿que es lo que hace que la solucion sea distinta?. Es debido a una particularidad importantisima de las ED y es que, al resolverlas, la solucion todavia es indeterminada y presenta una serie de constantes que deben calcularse a partir del llamado estado o condicion inicial (o de contorno en las EDP). Aunque la ED sea identica, si el estado inicial de partida es diferente su evolucion posterior tambien sera distinta. Esto es obvio y si las ED quieren simular la realidad debian cumplir esta caracteristica. Aunque no venga muy a cuento se me acaba de ocurrir que a alguien podria ocurrirsele pensar “claro, si las ED se han inventado para simular sistemas reales deberian venir con esto de la condicion inicial de fabrica...”. Yo le diria que las ED no se inventaron de esta forma. De hecho, no se inventaron. Estaban ahi y Newton las recogio y vio que servian para eso. “Estaban ahi” quiere decir que la naturaleza esta encriptada en lenguaje matematico y muchos de sus procesos evolucionan igual que las ecuaciones diferenciales. De forma que ya venian con ese extra y no hubo que hacerle ningun “tunning” para que mimetizasen la realidad.

Toda esta divagación me recuerda una anecdota de un tal Prandtl (un tio muy importante en mecanica de fluidos) que contaba a principos del siglo XX. Decia muy ufano que los fluidos no son mas que calculadores (hoy diriamos computadoras) especiales para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, escritas no hacia mucho tiempo. Estas complicadisimas ecuaciones son las encargadas de mimetizar el movimiento de los gases y liquidos y a lo largo del siglo XX se ha demostrado que estas ecuaciones son hasta tal punto fieles a la realidad (reproducen desde el flujo mas simple hasta el flujo turbulento, las olas del mar o las ondas de choque) que parece realmente que ocurre tal como decia Prandtl. En lugar de resolver las ecuaciones para estudiar un fenomeno vayamos directamente al laboratorio y resolvamoslas con el computador especial, o sea, hagamos el experimento. Prandtl dixit y no sere yo quien lo desmienta. Ya hablaremos de todo esto mucho mas adelante.

Sigamos. En el ejemplo anterior:

si se resuelve (si quereis hacerlo probad a sustituir x por Ky/b y resolvedla en la variable y. Es mas sencillo) queda que:

La unica constante desconocida es C (recordar que a, b y K se conocen de antes) y se determina sabiendo que en el instante inicial t=0 la posición es conocida, por ejemplo x=x0.

Ya hemos resuelto la ecuacion diferencial que rige el movimiento de un punto en un entorno conservativo que verifica la ecuacion de la energia. Y lo aprovechare para explicar otro dia lo que es el espacio de estado.

--Ante la petición de más detalle en las operaciones matemáticas añadido de última hora!!--

No quiero dar una clase de calculo y solo queria explicar por encima algo pero ante algunas peticiones alla va el “desarrollo” lo mas detallado posible

Empezamos con:

Sustituimos con: y queda:

Despejamos dx/dt:

De momento nos quedamos con el + para no alargar la explicación:

Ponemos lo que tiene x a un lado y t al otro:

que poniendolo bonito es lo mismo que: [ec 1]

si ahora sustituis y por 1-bx/K (con y por bx/K tambien sale pero es aun mas sencillo con el que digo ahora)

Volviendo a ec 1.quedaria:

que integrada day deshaciendo el cambio de y por x y operando eso despejando xque tambien puede ponerse (intentadlo)

...pero todavia no se ha acabado porque aparece una C2 que no sabemos lo que vale. Y aprovecho para recordar que las condiciones iniciales se impondrían diciendo que si en el instante inicial t=0, la posición era, por ejemplo, x=0 la ecuación anterior queda:

de forma que la solucion final es:

 

 

 

4 comentarios

[macarro - 20 de noviembre de 2006 - 21:34]

Me quedo con tu último párrafo a ver si te centras en lo que es ya que renuncio de cómo se hacen. Las correcciones estas dan mucho que hacer al coco y tendré que volver más veces a ver si me quedo igual de pez, ya que te sigo bien en un trozo para perderme en la mitad jeje. Bueno, no vas a ponerte ahora a explicar matemática básica ...o sí, jaja. Volveré a ello a ver

[pillo - 15 de noviembre de 2006 - 19:00]

El siempre colaborador Oscar Filandrupp me ha vuelto a sacar los colores. Hay un pequeño error en la integracion.
Por un lado la sustitucion buena es x por yK/(ab). Con eso la ecuacion se simplifica mucho y la integral es la de 1/(sqrt(1-y)).
Por otro lado la b que aparece dentro de la raiz (en las dos ultimas ecuaciones)debe estar fuera.

Me comenta tambien que pocos nos acordamos de hacer primitivas. Asi es, salvo los estudiantes afanosos que ahora anden por los 18-20 añitos.
Yo tampoco me pongo a hacer primitivas a estas alturas. Hombre, esta es sencilla, pero si se complica medianamente la busco en tablas que tengo por ahi y si no, hago la integral definida que es lo que al final suele interesar.

De todas formas, la ultima primitiva que hice fue hace muuucho tiempo, probablemente antes que nuestro amigo Oscar y agradezco que alguien repase los desarrollos que por aqui y alla hago sin mucho sosiego.

Y recordar que al final, como decia mas arriba, siempre es mucho mas importante saber lo que ES una primitiva o una derivada que como se HACEN.

[pillo - 14 de noviembre de 2006 - 10:17]

Resolver una ecuacion diferencial puede ser tan sencillo como hacer una integral (las mas simples) o puede requerir hacerse un programa especial para resolverlas numericamente. La mayoria de ellas se resuelven numericamente con un metodo que se llama de runge-kutta pero insisto en que el saber resolverlas no es lo importante. Es como decirte que hacer derivadas es superfluo comparado con saber exactamente lo que quiere decir (lo recuerdas?)...a pesar de la mayor parte del esfuerzo en BUP era a hacerlas.
En el caso del blog, por si quieres intentarlo, es simplemente :
1-sustituye v por dx/dt
2-despeja dx/dt
3-pon todo lo que tenga x a un lado y lo que tenga t al otro
4-integra

[macarro - 13 de noviembre de 2006 - 20:34]

Jajaja, pues espero que antes que pases a explicar lo que es el espacio de estado me eches una mano a resolver las ecuaciones de la manera que lo has hecho. Seguro que te parecerá obvio y evidente pero un servidor se declara incapaz de dar tales pasos...dudo de si algún día supe. Es tan elemental? Snif.