El espacio de estado
El concepto de espacio de estado o de fase es fundamental en el estudio de los sistemas dinámicos. La mayoría de los sistemas dinámicos contienen lo que llamamos no linealidades que producen la complejidad y riqueza de comportamiento en la naturaleza. Los sistemas con un comportamiento lineal (recordar el ya longevo articulo “sistemas lineales”) son algo así como un aumento con una lupa imaginaria de una región concreta de la realidad caleidoscópica. En el mundo real macroscópico (y saco del cajón el mundo microscópico-cuántico y los fractales) las cosas ocurren de forma bastante continua de forma que hasta la curva o sistema mas curvado y distorsionado imaginado, si se amplia en cualquier lugar, presenta características lineales. Por poner un ejemplo muy sencillo, si la parábola (no lineal) es ampliada en cualquier punto lo suficiente parecerá un trozo de una recta (lineal). De esta forma, se llega a que los sistemas lineales son una aproximación mejor o peor de los sistemas “reales” no lineales. Hace 50 años esto era muy importante porque la única manera de resolver un sistema no lineal general es numéricamente con ayuda de los ordenadores... y antes no había!. Dentro de los sistemas no lineales, aparece genéricamente lo que se llama caos determinista.
La evolución de cualquier sistema dinámico (macroscópico, o sea sigo relegando al fondo los efectos cuánticos por no levantar mas polvo, pero incluso podrían meterse estos también) queda determinado cuando ciertas variables, las variables de estado, son conocidas en función del tiempo. De manera poco rigurosa se puede decir que las variables de estado son las variables esenciales a las que he aludido antes (ver del orden al caos(I)). En el ejemplo anterior de la energía
las variables que definen el sistema son dos, x y v. Los parámetros o constantes del sistema son a,b y K.
Ya que se esta prestando a este juego analicemos este sistema un poco mas. Puesto que todo esto va de física y no de matemáticas, TODAS las variables, parámetros y constantes que aparecen en las ecuaciones tienen un significado físico y representan algo. Es importante recordar aquello en lo que insistían tanto nuestros profesores; las unidades físicas. Decir que la velocidad de algo es 5 no es decir nada. Si son m/s o km/h o nudos o millas/hora es igual o mas de importante que el numero 5. De forma que una magnitud física es el conjunto de su valor numérico y de sus unidades. Asociado a esto existe lo que se llama dimensión física que para la velocidad es de L/T (o sea longitud/tiempo) y es diferente de las unidades. A cualquiera de las unidades de velocidad citadas antes le corresponde la dimensión de L/T.
Casi todas la magnitudes “normalitas” tienen dimensiones reducibles a cuatro magnitudes fundamentales que son L,T,M y Θ (o sea longitud, tiempo, masa y temperatura). Mas ejemplos. Con x normalmente nos referimos a una distancia (con sus dimensiones de longitud, L, en m por ejemplo en el SI), la densidad de masa es la masa que hay en la unidad de volumen, M/L3, en kg/m3 en el SI y así con todas. Un truco que tenemos (y que me ha sido siempre muy útil) para “adivinar” las dimensiones de algo que aparece en las ecuaciones esta basado en que cada sumando de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Esto se llama coherencia o consistencia dimensional o física y no todas las ecuaciones que se utilizan en ingeniería las tienen (aunque si todas las buenas ecuaciones). Eso distingue a una ecuación que mimetiza un comportamiento real de otra que no intenta reproducir la dinámica subyacente y simplemente ajusta sus resultados a lo que debe salir, sin base fenomenológica.
Como aplicación de la consistencia dimensional pondré un ejemplo sencillo. Demos por supuesto que sabemos que 
representa una energía (porque si estamos hablando de conservar la energía...) y por consistencia dimensional 
y 
, deben representar lo mismo bajo diferentes aspectos. Sus unidades de medida las sabemos. Ahora con la internet y Google, todas estas cosas son coser y cantar. ¿Pero podemos preguntarnos que representan los parámetros que hemos puesto casi a huevo; a,b y K?.
Las unidades de energía son los Julios (en SI) y un Julio es un Newton por metro (1 J=1 N m, por ejemplo de T=F d) y se sabe que 1 N=1 kg m/s2 (por ejemplo de F=m a) así que 1 J= 1 kg m2/s2 . Por tanto, deducimos que K representa un nivel de energía, que b debe tener unidades de N (fuerza) y que a debe tenerlas de J/( m2/s2 ), es decir de kg (masa). ¡Y toda esta información casi de la nada!
Probad a deducir que representa cada parámetro (o al menos o sus unidades) en la ecuación siguiente, F=P*x2+Cd**v2*A (F es una fuerza, Cd no tiene unidades y A es una superficie)
En unas cuantas líneas mas espero haber clarificado la distinción entre variables y parámetros. Un sistema conservativo dado debe tener una masa (proporcional a la a) y una fuerza b de la que deriva el potencial que da lugar a la energía potencial (sea la fuerza gravitatoria, eléctrica, elástica, centrífuga, etc... o la que sea) y estas características no son fácilmente modificables, de forma que son unos valores bastante fijos para cada sistema. Estos son los que llamamos parámetros. No ocurre igual con las variables, las cuales varían con el tiempo al evolucionar el sistema. Al principio puede ser complicado distinguir entre unas y otras pero si se entiende lo que representa cada termino de la ecuación es mas sencillo.
Con esta digresión que tiene poco que ver con el caos quería trasmitir la sensación que uno tiene al mirar una ecuación. No se ve solo su “escaparate” sino que tiene tripas y un mundo interior muy rico. Naturalmente, cuanta mas complejidad, mas riqueza y menos transparente. Hay muchas personas que han dedicado parte de su vida a recorrer las rutas escondidas de una sola ecuación... y la mayoría de ellas no han llegado al final. Poco tiene que ver la ecuación de la energía, tal como la he expresado, que nos merendamos como mucho en un par de días o la siguiente que se llama de Ginzburg-Landau y que mola mucho
o esta otra, en forma compacta, llamada de Navier-Stokes que ha dado y da mucha guerra (y de la que hablare en otro momento y lugar)
que desarrollada para un caso de 2 dimensiones y simplificada un poco da
Tras este segundo intento de digresión vuelvo al tema principal. Una vez que se han identificado las variables y los parámetros y lo que significa cada uno y se ha reflexionado un poco sobre la corrección de la ecuación falta lo mas importante; resolverla. Muchas veces no es posible de una manera directa y hay que dar largos rodeos. Suponiendo que ya tenemos la solución, esta debe dar la evolución temporal del sistema representado por las variables de estado que aparecen en la ecuación. En entregas posteriores pondré un montón de ejemplos pero de adelanto, lo que se vera es un punto moviéndose en un espacio de N dimensiones, siendo N el numero de variables de estado, es decir, el numero de variables requeridas para definir el sistema en cada instante de tiempo. Como mucho, la mayoría somos capaces de visualizar nada mas que 3 dimensiones así que los ejemplos no son nada espectacular.
¿Y como varía un sistema dado con el tiempo? ¿Cómo se mueve en el espacio de estado? Veámoslo...
8 comentarios
neysi berrios -
pillo -
De todas formas mis puntillas solo eran para meterte el dedo en el ojo y sacarte de tu ostracismo periodico:-)
Que eres como el guadiana!
oscar -
Hasta pronto, y salude de nuestra parte a las carretillas, que se preparen, que pronto iremos pallá.
pillo -
En cuanto a lo de molar...molar lo que se dice molar, mola mazo. Aunque para ver donde reside su molamiento es necesario antes andar mucho camino. Paciencia.
PD, Oscar, una variacion de algo en el tiempo solo es una velocidad si ese algo es una distancia. Ese algo, aunque lo designe por u, podria ser una concentracion, una temperatura, una densidad de masa, una carga electrica, el capital invertido en bolsa, los teraflops de tu PC :-) (ya quisieras!), etc...
profesor chiflado (u can call me Jerry) -
Afectuosamente con algo de arrogancia
Suyo de usted Jerry
oscar -
P podrían ser Kg/m, la masa de algo, medida por unidad de longitud, una densidad lineal
X pueden ser m/s, una velocidad
El cuadradillo me salen Kg por metro cúbico, una densidad, a lo mejor era una rho o algo así
V suena a m/s, velocidad
Y ya puestos a meter patas, me atreveré a preguntar: ¿Cuánto mola la ecuación de ese tal Leandau-Gintonic? ¿En qué unidades se mide el acto de molar? Resulta un tanto sospechoso, procederemos a abrir una investigación: sabemos que la ecuación mola, y además mucho, por más señas. Mmmm... Para empezar, sople usted por este globito, Dr.Pillo. Bien, resultado negativo, ahora sigamos, como la ecuación tiene dos términos, uno a la izquierda y otro a la derecha, y son iguales, tanto molará uno como el otro, tanto mola, mola tanto, y podremos analizar entonces el más sencillo, o sea, el de la izquierda, porque el resultado será el mismo, y vemos que es un ritmo de variación de algo, es decir, una velocidad. Llegamos a la conclusión final: ¡La velocidad mola mucho! Vaya, vaya, Sr. Pillo, quién lo diría, lo lamento mucho, pero es mi deber comunicarle que acaba de perder 3 puntos de su carnet por exceso de velocidad en el primer término de la ecuación. Le sugiero que reduzca sensiblemente el valor de beta, y no me venga con que si el término es complejo y tal y cual, que no cuela, o si quiere, por ser usted, le permito que reduzca el valor de u, que parece más rentable y veo que está cuadrado, el tío, o si no el de A, que está menos acomplejado que beta. Usted verá, y si no, al cuartelillo, con sus parámetros y sus variables.
macarro -
Me parece increíble este fenómeno de pillo que logra ver las conexiones naturales que a mi me superan por momentos, si bien creo pillar la idea de lo que expresa y le doy todo el crédito. Me zambulliré otro par de veces y algo quedará, aunque no tanto como quisiera.
igualix -