Blogia
Sailor Worlds

caos determinista y caos cuantico (I)

caos determinista y caos cuantico (I) CAOS PARA DUMMIES (I)Bueno, ante todo, haciendo un poco el pelota dar las gracias a Berni por el blog y su sentido de la oportunidad. Recojo el guante que me ha lanzado, o al menos asi lo hemos interpretado todos, ¿verdad? e intentare contaros un poco de lo que se sobre la dichosa teoria del caos. Debo decir para los que no me conoceis que hace falta poco para tirarme de la lengua en estos temas y que empiece a hablar. Tambien debo decir que no soy un verdadero experto y no trabajo en cosas de caos (o dinamica no lineal) por lo que puede colarse alguna imprecision que no afecta al “concepto” o cosa general. Es obvio que el caos esta de moda (o lo ha estado hasta hace poco pq con el vertigo impuesto de las modas uno nunca sabe) y hasta los politicos y periodistas hablan sin rubor de ello. Basta con poner “chaos” en Google para ver montones de webs relacionadas. Asi que antes de nada habra que decir que es el caos (aunque adelanto que no es simple) y su famosa teoria para poder seguir adelante y poder explicar por que esta de moda y que es lo que tanto atrae de ella. Me comprometo a no poner ni una sola ecuacion y cuando aparezca un concepto que creo que se sale de lo normal intentare definirlo al hilo de forma clara pero sacrificando necesariamente precision a costa de comprension. El que quiera puede ver un articulo a un nivel ligeramente mas alto (tampoco mucho mas) sobre esto puede pedírmelo. He tenido oportunidad de comprobar hablando con muchas personas “que han leido algo” de esto, que hay bastante “caos” en el concepto primordial de lo que es o deja de ser el caos. Tienden a buscar un trasfondo filosofico detras, que lo tiene y muy profundo, pero para ir en busca de esta filosofia hay que ir bien pertrechado y con las ideas esenciales muy claras.  Para empezar hay que distinguir entre dos tipos de caos completamente diferentes en origen, aunque parece probable que haya alguna conexión entre ellos, y de haberlas serian poco importantes en lo que a su esencia individual se refiere. Me refiero al caos cuantico y al caos determinista. Los dos son independientes en su concepcion y pueden existir uno sin el otro, al menos desde un punto de vista mAcroscopico. Antes de entrar en distinciones contare la historia por donde deben comenzar todas, por el principio. Caos es desorden y confusion, algo imposible de organizar, pero desde un punto de vista matematico o fisico nos referimos casi a lo contrario.  La llegada de los ordenadores, hacia los 60-70, ha hecho que algunos fenomenos relativamente simples pero sin solucion analitica (en argot se dice que un problema presenta solucion analitica si, basicamente, puede escribirse en un papel) puedan ser resueltos de forma numerica. Y la sorpresa surgio al comprobar que cierto tipo de problemas muy sencillos en su planteamiento tienen una solucion compleja (numerica o no es lo de menos y no resta exactitud ni generalidad). Si hablamos de problemas complicados, la gran mayoria, por cierto, de los problemas reales, lo anterior sigue siendo cierto naturalmente pero deja de ser tan sorprendente, claro. Hay que dejar claro que cuando me refiero a ecuaciones, me refiero a ecuaciones diferenciales, bien ordinarias, bien en derivadas parciales, no ecuaciones algebraicas tipo ecuacion de segundo grado. Las  ecuaciones diferenciales mimetizan matematicamente el comportmiento de la mayoria de los sistemas fisicos conocidos. Se elige un “algo” de la naturaleza, se limpia de polvo y paja, se hace un modelo matematico simplificado pero realista de ello y ya se tiene la ecuacion diferencial. Para cada sistema fisico existe una ecuacion, la cual puede ser igual si los sistemas son similares en lo fundamental. Para no complicar mucho la cosa y que se entienda todo basta decir que las ecuaciones diferenciales (ED) son muy similares a cajas en las que metemos el “estado” de un sistema, que funcionan durante un tiempo t que asignamos y al final, cuando abrimos la tapa, lo que hay dentro es el “estado” del sistema tras el tiempo t. De lo anterior es obvio que para resolver una ED es necesaria, ademas de la caja, meter algo dentro. Es decir, se requiere una condicion inicial (en ecuaciones en derivadas parciales ademas se requieren una condiciones de contorno, pero de momento no entrare al trapo). Aunque la caja y su mecanismo sea el mismo, si los estados iniciales que se meten dentro son poco o muy diferentes, los estados en el tiempo t sera poco o muy distintos.  Retomando el discurso, la aludida complejidad de las soluciones de problemas relativamente simples de enunciar pero sin solucion analitica (y no comprobables hasta que hubo ordenadores) es una complejidad singular. No reside en que la solucion, si pudiera escribirse en papel, ocupase varias paginas ni en que el programa para resolverlos tenga muchas lineas ni nada de ese tipo. Consiste la rareza en que la evolucion temporal a un plazo mas o menos largo es impredecible. Esto hay que explicarlo mas despacio porque tiene mucha miga. Hay que retroceder hasta el siglo 19, el siglo del determinismo cientifico en el que el éxito de la mecanica y de la fisica en general, heredadas de Newton y su calculo integral, permitieron descubrir nuevos planetas sin telescopio y un desarrollo de tecnologia que todavia hoy usamos. El éxito se hizo absolutamente omnimodo y desemboco en una fe ciega en la ciencia. Hay que ponerse en la epoca y el lugar de esos cientificos que confiaban ciegamente en el determinismo de sus ecuaciones. Consideraban (y consideramos) los sistemas fisicos como cajas llenas de engranajes con una disposicion inicial (unas veces podia ser una, otros dias otra distinta) y que dandole a una manivela escupia lo que iba a ocurrir en el futuro. Solo hacia falta conocer los mecanismos de la caja y el estado inicial (o condicion inicial) del sistema para prever su comportamiento futuro. En la primera mitad del siglo 20 el desarrollo de la mecanica cuantica abrio nuevas formas de ver la naturaleza y a pesar de que el 99% de la fisica de andar por casa, de la de todos los dias, sigue siendo newtoniana, cambio para siempre la disposicion y precaucion con la que la nueva generacion de cientificos abordaria y estudiaria los fenomenos macroscopicos. Quiero volver a remarcar que la fisica cuantica solo pasa de refilon en todo esto y al final, si me acuerdo, contare algo de caos cuantico. De momento la aparcamos y seguiremos viviendo como si no existiera. Por cierto, un sistema fisico se dice que tiene un comportamiento determinista si conocido en un instante dado su estado es posible determinar su evolucion posterior de forma que podremos conocer su estado en un instante futuro. O sea, que el estado presente determina el futuro (de forma inequivoca) y todo el universo se comportaria como una maquina de precision. Con esta tradicion y fe determinista se entiende mejor la sorpresa de que, en los 60, al darle a la manivela (casi de forma literal pq los ordenadores de esos dias no eran como el portatil desde el que esto escribo) el resultado unas veces es uno y otras veces otro. ¿Como es posible? C'est ne pas posible! exclamaba Laplace desde su tumba. Las explicaciones posibles a bote pronto, que se me ocurren son:-Las ecuaciones no son deterministas-Que existan variables ocultas o aparicion de efectos no tenidos en cuenta en el modelo que se resuelve-Sensibilidad a la condiciones iniciales La primera posibilidad es plausible y en efecto existen sistemas con elementos que introducen algun tipo de aleatoriedad de forma que su evolucion sea imprevisible pero resulta que la impredecibildad ocurre tambien en sistemas sencillos, sin azar. La segunda posibilidad es tambien probable (y han ocurrido casos con efectos despreciados o no introducidos en las primeras ecuaciones y que despues se han mostrado decisivos) pero tras escoger un sistema dado, simple (un pendulo ligeramente modificado, por ejemplo) y analizarlo a fondo estos efectos “extraños” se han deshechado por inexistentes. La tercera opcion es la que queda. ¿Que quiere decir exactamente “sensibilidad a las CI?. Pues quiere decir que si a un sistema dado, cumpliendo las mismas ecuaciones, se le introducen dos CI muy ligeramente diferentes, tras un tiempo t dandole al manubrio los estados correspondientes son muy distintos (las soluciones divergen en el tiempo, en argot), mucho mas de lo esperable. Es decir, la cosa es parecida a esto; se hacen dos experimentos identicos en una condiciones del entorno y del propio sistema lo mas controladas posible y se observa que tras un cierto tiempo los resultados empiezan a ser cada vez mas distintos.  Esto no ha sido algo normal ni obvio en los sistemas estudiados hasta entonces (los cuales eran en su mayoria lineales que eran los resolubles a mano, dejemoslo ahi) y surgen muchas preguntas. La primera es ¿como estan relacionados la “distancia” entre los dos estados iniciales con el tiempo para el cual comienzan a verse las discrepancias en los resultados? Por que bien pudiera ser el caso en que sean errores acumulativos por el sistema de resolucion de las ecuaciones (errores provinientes del hecho de resolver las ecuaciones con maquinas en vez de a mano si esto fuera posible) o bien por el proceso de medida en el caso de los experimentos. Ambos tipos de errores estan desterrados de la ciencia actual. Los calculos se realizan mediante algoritmos consistentes y cuyos errores estan acotados de forma conocida y previsible. O sea, yo te doy la solucion a un problema con una precision de 3 decimales y tu me diras que es poca. Yo entonces te pregunto por la precision requerida y tras un cierto tiempo, mas largo cuanta mayor sea la precision que pides, la maquina me devuelve el resultado con dicha precision. Por si esto fuera poco y no os fiais todavia, los calculos se realizan de forma independiente por mucha gente y los experimentos se repasan y realizan en diferentes laboratorios de forma que para la mayoria de los cientificos es suficiente aval. Resumiendo, que se puede descartar la divergencia en la solucion debido a errores achacables a los metodos de resolucion o medida y empezamos a creer que la fuente de la divergencia esta en la propia naturaleza de las ecuaciones que son simples traducciones matematicas de aspectos de la naturaleza. Entonces vuelvo a la pregunta ¿como estan relacionados la “distancia” entre los dos estados iniciales con el tiempo para el cual comienzan a verse las discrepancias en los resultados? Pues depende del grado de “caoticidad” del sistema. Si es muy caotico diverge enseguida, si no tardara mas. Una medida de esta divergencia o de lo caotico que un sistema es la da el exponente de Lyapunov. Otra pregunta; ¿de donde viene esa fuente de divergencia y por que antes, en varios siglos de ciencia, no se habia visto? Pues tras una explosion en los 70 de descubrimientos de sistemas y ecuaciones que presentaban caos, en los 80 se concluyo que todos los sistemas caoticos reunen estas dos carcateristicas; son no lineales y que intervengan 3 o mas grados de libertad o variables independientes efectivas. Esto por si solo no es condicion suficiente para que el sistema sea caotico  y existen sistemas no lineales con millones de variables que no son caoticos, por ejemplo el flujo laminar de un fluido. Esto puede ocurrir porque no haya ni siquiera tres grados de libertad a pesar de que haya millones de variables, es decir para la descripcion matematica del sistema solo se requieren menos de tres variables efectivas o grados de libertad. Sin embargo la mayor parte de los sistemas fisicos depende, ademas de las propias variables que definen su estado, de unos parametros o variables que son como los  diales de la radio. Sintonizan el sistema en una condicion dada y son ajustables por nosotros (a diferencia de las verdaderas variables). Es tipico en sistemas susceptibles de desarrollar caos que vayamos regulando el dial y el sistema no presenta caos pero de repente, a partir de un determinado valor del dial, el sistema se empieza a volver caotico. Esta transicion al caos no ocurre (salvo en bifurcaciones catastroficas, si, asi se llaman) de forma abrupta sino que es precedida de varias etapas intermedias siendo en cada una mas extraño el comportamiento que en la anterior. Me ha quedado por explicar algo importante (aparte de muchas otras cosas) y sin lo cual no se relacionan estas dos ideas; la simple divergencia en el comportamiento de un sistema fisico y la complejidad asociada al concepto de caos. ¿una cosa lleva a la otra? Evidentemente si, si no no se explica la explosion en investigacion en estas cosas. ¿como se va de una cosa a la otra? Esto ya es mas complicado y lo dejo para la proxima charla. El tema no ha hecho mas que empezar y por el camino han ido quedando muchas bifurcaciones que llevarian a otras disquisiciones que no he querido tomar para no desviarme. No quiero seguir sin recibir comentarios y que me digais si os enterais y si os interesa. Solo un ultimo apunte; una de las implicaciones inmediatas es que si la casi totalidad de los sistemas fisicos (dejamos fuera unos pocos; los discretos y los modelados por ecuaciones integrodiferenciales) que modelan comportamientos naturales y biologicos son no lineales y suficientemente complejos para que exhiban mas de 2 grados de libertad, con toda seguridad presentan caos. Si damos por supuesto, pero sin explicacion por el momento, que la divergencia en el tiempo del comportamiento del mismo sistema ante dos ajustes iniciales casi iguales lleva irremediablemente a un comportamiento caotico, se entendera mejor la celebre frase de la mariposa de Lorentz. Como todos los ejemplos didacticos es muy exagerado pero pone de relieve que el aleteo de la mariposa, que ES la diferencia entre el estado con y sin mariposa de toda la atmosfera terrestre, que esa minima diferencia hace que tras un tiempo (muy largo seguramente) pueda o no provocar un huracan.

¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres

1 comentario

macarro -

Pues sí creo que es interesante. Te sigo gracias a las veces en que me has comentado cosas relacionadas que me hacen visualizar a veces lo que cuentas (el humo de un cigarrillo por ejemplo). En este sentido se agradecería más ejemplos y algún punto y aparte que estructure más fácil para el lector jeje.
Veremos si somos capaces de ir más allá.
¿Y esta publicidad? Puedes eliminarla si quieres