Qué monos son los números
Ruego a algún amable lector, quizá con habilidades matemático-sinestésicas, tú mismo tal vez, pequeño Ramanujan reencarnado, me expliques este freaky numérico.
Sea, por ejemplo, este número:
110 / 97
El valor de esta división, en sistema decimal y con 200 dígitos, es:
1.134020618556701030927835051546391752577319587628865979
38144329896907216494845360824742268041237113402061855670
10309278350515463917525773195876288659793814432989690721
649484536082474226804123711340206…
Sin necesidad de instrumental especializado, llegamos a la conclusión de que se trata de un churro de considerables dimensiones. ¿Dónde iremos con este pesado churro a las espaldas? Sigamos caminando.
Podemos ver en el churro un período que se repite, como es propio en los números que llamamos racionales, y que aquí vemos marcado con alegres colores verdes y amarillos a juego:
1.134020618556701030927835051546391752577319587628865979
38144329896907216494845360824742268041237113402061855670
10309278350515463917525773195876288659793814432989690721
649484536082474226804123711340206…
Vemos que el churro verde es idéntico al churro amarillo, lo cual es perfectamente normal y no debería escandalizarnos. Es una propiedad de lo más natural en los números racionales.
Merece la pena dedicar un instante a verificar a ojo que la secuencia de números de cada churro es de aspecto arbitrario, ordinario incluso, bastante heterogénea, aburridísima, como resultante de la actividad de un chimpancé aporreando al azar una calculadora. No se adivina nada de apariencia ordenada en su interior.
Aún no sabemos dónde nos lleva esto, pero sigamos. A modo de capricho repentino, vamos a separar el patrón en dos mitades de igual tamaño, que ahora observaremos atentamente, marcadas esta vez con bellos tonos lilas y azules:
13402061855670103092783505154639175257731958762886597
9381443298969072164948453608247422680412371
A la simple vista de estos dos últimos churretes coloreados, la observación lógica es:
- ¿Qué tontería es esta? ¡Tengo otras cosas mejores que hacer antes que perder el tiempo en crucigramas de sospechoso tufillo numerológico! ¡Que me devuelvan el dinero del adsl que estoy gastando ahora mismo!
No desesperemos, por favor, un poco de calma. Apilemos los 2 sub-churros uno sobre otro, cual sándwich numérico de berenjena y queso roquefort:
134020618556701030927835051546391752577319587628
865979381443298969072164948453608247422680412371
¡Exquisita berenjena y delicioso queso!
Ahora, introducimos la mano en la chistera, hacemos una tensa pausa, agarramos la suma de ambos sub-churros por las orejas y ¡Abracadabra! el resultado es:
¡999999999999999999999999999999999999999999999999!¡Detengan las máquinas! ¡Un momento! ¿Tantos nueves? ¿De dónde salen? ¿No estábamos de acuerdo en que los dígitos del patrón parecían desordenados, anárquicos y aburridos? Y sin embargo, ¡las dos mitades del patrón se unen sumando un glorioso ejército de nueves en formación! Hemos comenzado con 200 dígitos a modo de ejemplo, pero la división real tiene infinitos dígitos, luego el número de nueves es también infinito, redondeándose entonces hacia el dígito anterior a todos ellos, y haciéndose la mantisa repentinamente finita.
Resumen al estilo abstract de un paper cualquiera: Al dividir dos números enteros se forma una mantisa periódica que a su vez, en ciertas ocasiones (no todas), resulta estar dividido en dos fragmentos que son uno el reflejo especular del otro respecto al centro del sistema de numeración usado (hablando en base 10 será 4.5, el centro del segmento 0-9). Por eso la suma de sus dígitos es nueve.
De acuerdo, no es más que un baile de números sin sentido físico, pero nos habla de una simetría oculta en el interior del proceso de división, que se manifiesta en bastantes ocasiones (esa es parte del misterio), que es sensible al sistema de numeración empleado (ídem), y que no recuerdo que el profe me explicara en el cole. ¿De dónde nace esta simetría?
(Un acorde estridente inunda de repente la sala.)
(Los asistentes, sobresaltados, despiertan del sopor producido por la exposición, se desperezan y bostezan, preguntando por las ubicaciones respectivas del bar y del retrete, y la sala queda vacía).
(El exponente de esta humilde conferencia, servidor de ustedes, cual mendigo hambriento de explicaciones que no encuentra, recoge su mochila y se marcha apesadumbrado… ¡a no ser que tú salgas de la oscuridad de esa última hilera de butacas y le regales una respuesta!)
Notas:
* Puede comprobarse que los nueves pueden generalizarse como la base menos 1. Si representamos el proceso en otra base, por ejemplo binaria, la suma de las dos mitades del patrón dan 1111…, porque la base es 2. En base 3 será 2222…
* Puede también comprobarse que para otras fracciones con otro denominador, como por ejemplo 95 en lugar de 97, el fenómeno no se presenta. ¿Cuál es la característica de las fracciones que lo manifiestan?
* Además de la dependencia del denominador, se presenta en unas bases de numeración y en otras no.
* ¿Qué proceso interno dentro de la secuencia manual de la división – tomar resto, dividir, generar dígito en cociente, bajar cero, nuevo resto y repetir – produce este resultado? Parece claro que hay una simetría especular en la forma en que los restos van apareciendo y van generando dígitos en el cociente.
* (Si has sido capaz de tragarte el rollo hasta aquí, ¡entonces te toca seguirlo!).
1 comentario
pillo -
Sobre tu comentario quisiera contarte un par de cosas que no veo. Una es lo de la simetria especular; lo que yo veo que hay es una particion y un desplazamiento o traslacion. Otra cosa que queria contarte es que al presentar resultados como este es interesante comprobar o disponer de una estimcion de la frecuencia del suceso. Es decir, es esto un hecho aislado, una casualidad, o es algo relativamente frecuente en las fracciones racionales?
Suponiendo que lo sea, entonces habria que intentar sistematizar o expresar de una forma mas general el resultado. Por ejemplo, lo de que se presente en unas bases si y otras no, yo no le daria mas importancia hasta descubrir pq se produce en una base concreta, 10 por ejemplo. Porque muy seguramente esten relacionados ambos hechos; que la suma sea 99999...y la base 10. Has comprobado que en base 5 la suma sea 444444...? imagino que si. Ademas hay un hecho que me hace sospechar una relacion oculta mas entre las bases en que se da esta propiedad y la fraccion en si ¿entre las bases "favorables" las hay que son factores del numerador o denominador?,¿el hecho de que el denominador sea primo es casualidad?
En resumen, hay demasiadas preguntas para la poca informacion que das. Sigue dandome otras fracciones para las que sucede esto.
Y vamos con la generalizacion. Cualquier numero decimal puedes ponerlo como a0+a1*1e-1+a2*1e-2+....an*1e-n+... y por convencion cuando ponemos a0,a1a2a3...an ya sabemos que nos referimos a lo otro. En este caso que explicas podrias decir que con determinados racionales a/b (cuyos factores primos y relacion entre los del numerador y denominador y base de numeracion podria ser de alguna importancia para encontrar una pauta) se verifica la propiedad siguiente:
-a partir de una posicion decimal k tenemos que a sub k+a sub(k+p)=base-1 siendo p la semilongitud de la cadena.
Realmente en todo el comentario no he dicho nada nuevo que explique nada y solo he gastado tiempo en puntualizar o escarbar en detalles pero a veces el como se expresan los problemas y hechos es esencial para poder entenderlos primero y resolverlos despues.
Seguiremos hablando