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Ciencia , programación

Las vueltas que da la vida

 

 

No sé cuantas exactamente. Unas cuantas, supongo. Con "las vueltas que da la vida" despachamos lo mismo resignación que alegría y sin embargo la solemnidad que encierra es indistinta del contexto, al menos para este que les garabatea cordialmente. Será que me he parado a pensar sobre ella en demasía? No os ha pasado que de pensar demasiado en una determinada cosa se acaba dudando de ella por muy obvia que esta sea? Por ejemplo si empezamos a darle vueltas a cómo se escribe "obvio". Podría acabar dudando de si la "b" va antes o después de la "v"...bueno que como veis me lío, me lío. Simplemente pretendía escribir un post en el que contar lo mucho que me he alegrado de reencontrar una vieja y encantadora amiga de mis tiernos años a través de este blog después de un lapso de unos cuantos años de despiste. De esto que piensas alguna vez, qué habrá sido de tal como con la resignación de haber perdido la pista y un trocito de tí mismo. Y es que a veces sólo miramos hacia delante en la loca espiral de la vida.

Aprovecharé para incluir un reportaje de Joanna  muy interesante que tiene colgado en la red acerca de las energías, contaminación, tecnología y el problema mediambiental. Está en inglés, eso sí, exquisito de la BBC jaja con lo que abrimos orejas y algo se quedará. Se titula "Clean coal" y no es muy largo.

Quién me hace un resumen?

Venga pillo, que estás deseando destrozarlo :-)

 

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Sobre el cambio climático

Sobre el cambio climático
En realidad lo queria contar es la charla que me dio MARK el otro dia. Mark es un ingles, vividor, solo diré que no se exactamente a que se dedica,sé que ha estado en la marina inglesa, que fundo su propia empresa de ordenadores en china en 1997 y quebró, que ha sido profesor de universidad y que ahora esta aprendiendo chino "pq lo necesita" ??(esta estudiando la historia china -- guerra civil y estas cosas) Toda esta introduccion es para q quede claro q Mark es un tipo "listo",y creo lo que me dice.Ah¡¡ y para las chicas dire que se acaba de casar(es su segunda boda) con una chinita muy maja.
Bien la charla que me dió, no me entere muy bien pq obviamente un ingles no habla español (en realidad los ingleses no hablan ningun otro idioma) pero creo q venia a decir q esto del cambio climatico es mentira, esta politizado, que el hombre con sus gases contaminantes en realidad solo actua en un 5% q lo demas es condensacion de agua???, se me crearon muchas dudas... porque tambien contaba que en realidad esto que estamos viviendo pertenece a un ciclo, por lo visto en la edad media tambien hubo cambios de temperaturas, dice q los medios estan dando mas credibilidad a los cientificos alarmistas que a los que piensan de esta otra manera. Y la ultima cuestion ¿hay relacion en el efecto invernadero y el cambio climatico? todo indica que si pero Mark me decia q era otra cosa... (o eso entendi yo)
Os paso un link interesante de un cientifico del IPCC (intergovenamental panel on climate change) que estudio los huracanes y no encuentra relacion entre el aumento de estos en los ulitmos años y el efecto invernadero.
Bueno PILLO y los demas (q sois todos una banda de listillos) os dejo un tema para que discutais y sobre todo para q aprendamos, me ha parecido interesante... porque entonces la pelicula de AL-GORE....

El espacio de estado

El espacio de estado

El concepto de espacio de estado o de fase es fundamental en el estudio de los sistemas dinámicos. La mayoría de los sistemas dinámicos contienen lo que llamamos no linealidades que producen la complejidad y riqueza de comportamiento en la naturaleza. Los sistemas con un comportamiento lineal (recordar el ya longevo articulo “sistemas lineales”) son algo así como un aumento con una lupa imaginaria de una región concreta de la realidad caleidoscópica. En el mundo real macroscópico (y saco del cajón el mundo microscópico-cuántico y los fractales) las cosas ocurren de forma bastante continua de forma que hasta la curva o sistema mas curvado y distorsionado imaginado, si se amplia en cualquier lugar, presenta características lineales. Por poner un ejemplo muy sencillo, si la parábola (no lineal) es ampliada en cualquier punto lo suficiente parecerá un trozo de una recta (lineal). De esta forma, se llega a que los sistemas lineales son una aproximación mejor o peor de los sistemas “reales” no lineales. Hace 50 años esto era muy importante porque la única manera de resolver un sistema no lineal general es numéricamente con ayuda de los ordenadores... y antes no había!. Dentro de los sistemas no lineales, aparece genéricamente lo que se llama caos determinista.

La evolución de cualquier sistema dinámico (macroscópico, o sea sigo relegando al fondo los efectos cuánticos por no levantar mas polvo, pero incluso podrían meterse estos también) queda determinado cuando ciertas variables, las variables de estado, son conocidas en función del tiempo. De manera poco rigurosa se puede decir que las variables de estado son las variables esenciales a las que he aludido antes (ver del orden al caos(I)). En el ejemplo anterior de la energía

las variables que definen el sistema son dos, x y v. Los parámetros o constantes del sistema son a,b y K.

Ya que se esta prestando a este juego analicemos este sistema un poco mas. Puesto que todo esto va de física y no de matemáticas, TODAS las variables, parámetros y constantes que aparecen en las ecuaciones tienen un significado físico y representan algo. Es importante recordar aquello en lo que insistían tanto nuestros profesores; las unidades físicas. Decir que la velocidad de algo es 5 no es decir nada. Si son m/s o km/h o nudos o millas/hora es igual o mas de importante que el numero 5. De forma que una magnitud física es el conjunto de su valor numérico y de sus unidades. Asociado a esto existe lo que se llama dimensión física que para la velocidad es de L/T (o sea longitud/tiempo) y es diferente de las unidades. A cualquiera de las unidades de velocidad citadas antes le corresponde la dimensión de L/T.

Casi todas la magnitudes “normalitas” tienen dimensiones reducibles a cuatro magnitudes fundamentales que son L,T,M y Θ (o sea longitud, tiempo, masa y temperatura). Mas ejemplos. Con x normalmente nos referimos a una distancia (con sus dimensiones de longitud, L, en m por ejemplo en el SI), la densidad de masa es la masa que hay en la unidad de volumen, M/L3, en kg/m3 en el SI y así con todas. Un truco que tenemos (y que me ha sido siempre muy útil) para “adivinar” las dimensiones de algo que aparece en las ecuaciones esta basado en que cada sumando de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Esto se llama coherencia o consistencia dimensional o física y no todas las ecuaciones que se utilizan en ingeniería las tienen (aunque si todas las buenas ecuaciones). Eso distingue a una ecuación que mimetiza un comportamiento real de otra que no intenta reproducir la dinámica subyacente y simplemente ajusta sus resultados a lo que debe salir, sin base fenomenológica.

Como aplicación de la consistencia dimensional pondré un ejemplo sencillo. Demos por supuesto que sabemos que representa una energía (porque si estamos hablando de conservar la energía...) y por consistencia dimensional y , deben representar lo mismo bajo diferentes aspectos. Sus unidades de medida las sabemos. Ahora con la internet y Google, todas estas cosas son coser y cantar. ¿Pero podemos preguntarnos que representan los parámetros que hemos puesto casi a huevo; a,b y K?.

Las unidades de energía son los Julios (en SI) y un Julio es un Newton por metro (1 J=1 N m, por ejemplo de T=F d) y se sabe que 1 N=1 kg m/s2 (por ejemplo de F=m a) así que 1 J= 1 kg m2/s2 . Por tanto, deducimos que K representa un nivel de energía, que b debe tener unidades de N (fuerza) y que a debe tenerlas de J/( m2/s2 ), es decir de kg (masa). ¡Y toda esta información casi de la nada!

Probad a deducir que representa cada parámetro (o al menos o sus unidades) en la ecuación siguiente, F=P*x2+Cd**v2*A (F es una fuerza, Cd no tiene unidades y A es una superficie)

En unas cuantas líneas mas espero haber clarificado la distinción entre variables y parámetros. Un sistema conservativo dado debe tener una masa (proporcional a la a) y una fuerza b de la que deriva el potencial que da lugar a la energía potencial (sea la fuerza gravitatoria, eléctrica, elástica, centrífuga, etc... o la que sea) y estas características no son fácilmente modificables, de forma que son unos valores bastante fijos para cada sistema. Estos son los que llamamos parámetros. No ocurre igual con las variables, las cuales varían con el tiempo al evolucionar el sistema. Al principio puede ser complicado distinguir entre unas y otras pero si se entiende lo que representa cada termino de la ecuación es mas sencillo.

Con esta digresión que tiene poco que ver con el caos quería trasmitir la sensación que uno tiene al mirar una ecuación. No se ve solo su “escaparate” sino que tiene tripas y un mundo interior muy rico. Naturalmente, cuanta mas complejidad, mas riqueza y menos transparente. Hay muchas personas que han dedicado parte de su vida a recorrer las rutas escondidas de una sola ecuación... y la mayoría de ellas no han llegado al final. Poco tiene que ver la ecuación de la energía, tal como la he expresado, que nos merendamos como mucho en un par de días o la siguiente que se llama de Ginzburg-Landau y que mola mucho

o esta otra, en forma compacta, llamada de Navier-Stokes que ha dado y da mucha guerra (y de la que hablare en otro momento y lugar)

que desarrollada para un caso de 2 dimensiones y simplificada un poco da


Tras este segundo intento de digresión vuelvo al tema principal. Una vez que se han identificado las variables y los parámetros y lo que significa cada uno y se ha reflexionado un poco sobre la corrección de la ecuación falta lo mas importante; resolverla. Muchas veces no es posible de una manera directa y hay que dar largos rodeos. Suponiendo que ya tenemos la solución, esta debe dar la evolución temporal del sistema representado por las variables de estado que aparecen en la ecuación. En entregas posteriores pondré un montón de ejemplos pero de adelanto, lo que se vera es un punto moviéndose en un espacio de N dimensiones, siendo N el numero de variables de estado, es decir, el numero de variables requeridas para definir el sistema en cada instante de tiempo. Como mucho, la mayoría somos capaces de visualizar nada mas que 3 dimensiones así que los ejemplos no son nada espectacular.

¿Y como varía un sistema dado con el tiempo? ¿Cómo se mueve en el espacio de estado? Veámoslo...

El trueque

El trueque En la capital de la república de Letonia se encontraron ambos ejércitos capitaneados por Sergeiev al mando de los blancos y un amenazante Akmentinsh cuyas negras huestes parecían impacientarse al olor de la sangre que habría de ser derramada prontamente. Ambos reyes, otrora reconocidos por la sabiduría con que administraban el destino de sus respectivos pueblos parecían haber caído en el lado oscuro que sin duda significaba la lucha encarnizada que mantenían. ¿Cuál era la cuestión que les había llevado hasta allí?
No era el típico cuento del mal contra el bien, ya que ambos eran servidores de este último. En los difíciles tiempos del agotamiento de los recursos naturales que sustentaban su bienestar, las negociaciones se habían tensado hasta llegar a romper el fuerte hilo que antes les ataba con la cultura. El idolatrado hilo 100 se había deshilachado en un mar de miedos, descontrolado e incontenible, que les empujaba a tales extremos por la supervivencia de unos pocos.
Otros hilos habrían de ser tejidos más adelante, se dijo Sergeiev con tristeza, pareciendo adivinar el siguiente movimiento de su respetado adversario. El equilibrio de la naturaleza sólo se pagaba, sin regateos y exigía tan alto precio.
Akmentish se reunió con los mandos que le quedaban. Eran los fieles compañeros del viaje que habría de acabar pronto al menos para dos de ellos. Besó por última vez a su dama y la estrechó un instante entre sus brazos. Después volviéndose hacia su caballero y alargando el brazo para encontrar su mano pronunció un solemne hasta luego, seguido del consabido "hay que hacer lo que ha de hacerse".
La grandeza de su sacrificio dió como resultado el final de tan triste episodio, acabando con la derrota de Sergeiev y restaurando la cordura allá en Riga, año 1981.


Sencillita, no?

Del orden al caos (I)

Del orden al caos (I)

¿Como se crea un modelo fisico de una porcion de realidad?

Una pregunta que rondara es “¿que tiene que ver una recta o una parabola con un sistema fisico realista?”. Efectivamente ahora es el momento de dar ese triple salto mortal. He de repetirme un poco y volver a nombrar las dichosas ecuaciones diferenciales o ED pues son el nucleo fundamental en esto del caos, que dicho sea de paso todavia esta lejos. Estas son el tipo de ecuaciones que gobiernan la mayor parte de los modelos de sistemas observables en la naturaleza, desde la corriente electrica en un circuito a las llamas de un incendio o el flujo turbulento, desde la ecuacion de Schroedinger para sistemas subatomicos a la explosion de una supernova o la evolucion de la geometria del espacio tiempo que sostiene el universo. Su principal restriccion reside en que el sistema al que modele debe evolucionar en un espacio cuyas variables (espaciales, tiempo o cualesquiera otras) sean un medio continuo. Por ejemplo no valdrian para modelar un sistema cuyas variables sean numeros enteros. Estos no forman un continuo. En ese caso se modelan mediante ecuaciones en diferencias o de variable discreta.


Para modelar un “algo” del universo que nos rodea debemos recurrir primero a la extraccion de su esencia fisica. Por supuesto que la complejidad del sistema mas simple que se ocurra es enorme si miramos donde no debemos. Por ejemplo, al modelar un pendulo (una bola colgada de un hilo y puesta a oscilar) podemos perdernos en “detalles” que no afectan al resultado y que, en cambio complican mucho las ecuaciones. Si queremos tener en cuenta el rozamiento del aire, la tension y/o rigidez a flexion o torsion del hilo, la no esfericidad de la bola, la rotacion de la tierra (este efecto es lo que define el pendulo de Foucault) , etc...no acabamos nunca y la influencia de todos estos efectos son despreciables en primera aproximacion. Por eso hay que centrarse en lo verdaderamente importante y esto, amigos mios, es el quid de la cuestion. No hay quien nos diga, sino la intuicion las mas de las veces, lo que es esencial al problema y lo que es accesorio (como en la vida misma).


Una vez que sabemos o intuimos que variables o efectos son esenciales (solo estas variables apareceran en las ecuaciones) en el comportamiento del sistema debemos recurrir a la observacion y reflexion para establecer las ecuaciones que las gobiernan. En gran parte de las ocasiones hay leyes de conservacion (asi se llaman) que nos dicen que hay cantidades en tales sistemas que se conservan, por ejemplo la masa, la energia, la carga electrica o la cantidad de movimiento. Si se ha observado que la energia se conserva esto se traduce en una ecuacion (si, diferencial, las mas de las veces). La ecuacion que todos conocemos de “la suma de la energia cinetica mas potencial es constante” no era una ED efectivamente. O al menos eso parece. Es un caso muy sencillo en el que la ley de conservacion de la energia se aplicaba a un punto o a un sistema de particulas o a un solido rigido, como mucho, en un entorno sin friccion (sistemas conservativos versus disipativos). Cuando los sistemas considerados presentan ligaduras entre los elementos que lo forman y estos son muchos, la ecuacion diferencial es el enfoque adecuado. Considerando el movimiento de una bola al tirarla una aproximacion bastante buena es considerarla como un punto pero a veces, si su forma no es esferica (una pera o un palo por ejemplo) se debe considerar su movimiento de rotacion añadido al de traslacion. Si en lugar de ser un palo (infinitamente rigido) es un palo de plastilina (un ejemplo extremo) hay que considerar que ademas de traslacion y rotacion veremos deformaciones.


Al pasar de la bola a un palo rigido lo que hacemos es considerar que el palo es un aglomerado de particulas o de bolas y resolvemos el movimiento de cada particula teniendo en cuenta una relacion adicional que caracteriza un cuerpo solido. De esta forma se ha aumentado el numero de ED pero no su complejidad (al menos no mucho).


Al pasar del palo rigido al deformable hemos pasado de una ecuacion diferencial (o muchas) cuya variable independiente es el tiempo (ordinaria) a una ED en derivadas parciales en que ademas de t tenemos deformaciones o variaciones en x (dentro del propio palo, no de su centro de gravedad).


Para resolver el movimiento de la bola se aplica la segunda ley de Newton (fuerza igual a masa por aceleracion, F=m dv/dt) que es una ecuacion diferencial vectorial, mas o menos sencilla dependiendo de la forma exacta que tenga la fuerza aplicada. En casos muy especiales se puede resolver (normalmente le decimos integrar) analiticamente de forma que da un resultado como el de la energia que he enunciado antes y que no es una ED aparentemente. La energia cinetica es v2 y la potencial suele depender de una variable espacial, x por ejemplo, o sea que al final lo que dice (y me resistia a escribir) es:

con a,b y K constantes o parametros conocidos. Ahora surge el problema de ver como, a partir de esta ecuacion, somos capaces de calcular la trayectoria del sistema al que describe (y que es el mas simple que se me ocurre). La unica manera que se es introduciendo otra relacion que es la definicion de la velocidad:

Si se tienen en cuanta las dos ya se tiene una ED. Las variables son x y dx/dt y su solucion es una funcion x=f(t) tal que al derivarla para obtener v, elevarla al cuadrado y meterla en la ecuacion de la energia se verifique automaticamente. Esto no ocurre para cualquier funcion del tiempo que se nos ocurra y la unica que verifica la ED es la que llamamos trayectoria del sistema.


Antes he dicho que cada sistema puede caracterizarse por una ED y es cierto pero imaginemos un ejemplo que hara surgir una rendija de duda esclarecedora. Supongamos que disponemos de una ED que nos da, si es que somos capaces de resolverla y supongamos que asi es, la evolucion del motor de un coche y fijemos la atencion en la temperatura de uno de los pistones. Si, es muy rebuscado pero no importa. Si pintamos la variacion de la temperatura en el tiempo T1(t) cuando vamos desde Madrid a Valladolid es distinta que T2(t) cuando vamos de Valladolid a Madrid. Pero si el sistema y la ED (que son dos formas de referirse a lo mismo) son el mismo en ambos recorridos ¿que es lo que hace que la solucion sea distinta?. Es debido a una particularidad importantisima de las ED y es que, al resolverlas, la solucion todavia es indeterminada y presenta una serie de constantes que deben calcularse a partir del llamado estado o condicion inicial (o de contorno en las EDP). Aunque la ED sea identica, si el estado inicial de partida es diferente su evolucion posterior tambien sera distinta. Esto es obvio y si las ED quieren simular la realidad debian cumplir esta caracteristica. Aunque no venga muy a cuento se me acaba de ocurrir que a alguien podria ocurrirsele pensar “claro, si las ED se han inventado para simular sistemas reales deberian venir con esto de la condicion inicial de fabrica...”. Yo le diria que las ED no se inventaron de esta forma. De hecho, no se inventaron. Estaban ahi y Newton las recogio y vio que servian para eso. “Estaban ahi” quiere decir que la naturaleza esta encriptada en lenguaje matematico y muchos de sus procesos evolucionan igual que las ecuaciones diferenciales. De forma que ya venian con ese extra y no hubo que hacerle ningun “tunning” para que mimetizasen la realidad.


Toda esta divagación me recuerda una anecdota de un tal Prandtl (un tio muy importante en mecanica de fluidos) que contaba a principos del siglo XX. Decia muy ufano que los fluidos no son mas que calculadores (hoy diriamos computadoras) especiales para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, escritas no hacia mucho tiempo. Estas complicadisimas ecuaciones son las encargadas de mimetizar el movimiento de los gases y liquidos y a lo largo del siglo XX se ha demostrado que estas ecuaciones son hasta tal punto fieles a la realidad (reproducen desde el flujo mas simple hasta el flujo turbulento, las olas del mar o las ondas de choque) que parece realmente que ocurre tal como decia Prandtl. En lugar de resolver las ecuaciones para estudiar un fenomeno vayamos directamente al laboratorio y resolvamoslas con el computador especial, o sea, hagamos el experimento. Prandtl dixit y no sere yo quien lo desmienta. Ya hablaremos de todo esto mucho mas adelante.


Sigamos. En el ejemplo anterior:

si se resuelve (si quereis hacerlo probad a sustituir x por Ky/b y resolvedla en la variable y. Es mas sencillo) queda que:

La unica constante desconocida es C (recordar que a, b y K se conocen de antes) y se determina sabiendo que en el instante inicial t=0 la posición es conocida, por ejemplo x=x0.


Ya hemos resuelto la ecuacion diferencial que rige el movimiento de un punto en un entorno conservativo que verifica la ecuacion de la energia. Y lo aprovechare para explicar otro dia lo que es el espacio de estado.

--Ante la petición de más detalle en las operaciones matemáticas añadido de última hora!!--

No quiero dar una clase de calculo y solo queria explicar por encima algo pero ante algunas peticiones alla va el “desarrollo” lo mas detallado posible


Empezamos con:

Sustituimos con: y queda:

Despejamos dx/dt:

De momento nos quedamos con el + para no alargar la explicación:

Ponemos lo que tiene x a un lado y t al otro:

que poniendolo bonito es lo mismo que: [ec 1]


si ahora sustituis y por 1-bx/K (con y por bx/K tambien sale pero es aun mas sencillo con el que digo ahora)


Volviendo a ec 1.quedaria:


que integrada day deshaciendo el cambio de y por x y operando eso despejando xque tambien puede ponerse (intentadlo)

...pero todavia no se ha acabado porque aparece una C2 que no sabemos lo que vale. Y aprovecho para recordar que las condiciones iniciales se impondrían diciendo que si en el instante inicial t=0, la posición era, por ejemplo, x=0 la ecuación anterior queda:

de forma que la solucion final es:

 

 

 

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¿y eso del Caos?. Sistemas lineales

¿y eso del Caos?. Sistemas lineales

Retomo el hilo del pedazo de charla que meti en el primer articulo alli donde me quede y releyendolo veo que he pasado por alto muchas cosas que podrian ser interesantes. Ya que no tenemos prisa y la divergencia de la trayectoria en el espacio de estado, en un sistema no lineal y con mas de dos grados de libertad lleva al sistema a un comportamiento caotico no me parece una forma correcta ni educada de acabar intentare parar en todas las posadas que hay por el camino, aunque sea por poco tiempo, para que este rimbombante enunciado, tras esas reponedoras visitas, unos ejemplos y algunos cuantos capitulos mas (espero que no tantos como las cartas de juventud de Orson a Filandrupp) quede mas claro y con el proposito de ser mas explicito en adelante. En este capitulo y en los siguientes me extendere en algunos de los diferentes conceptos que aparecen en el enunciado, me subire a ellos y mirare alrededor, e intentare explicar lo que quiere decir un sistema lineal, lo que son las ecuaciones diferenciales, que es el espacio de estado y los grados de libertad o lo que es un comportamiento caotico. Para ello habra que decir antes que es un atractor , cuando es estable o inestable, y cual es su dimension. En fin, muchas y variadas cositas que la ciencia ha tardado muchos años en recorrer y que a hombros de gigantes recorreremos en un pispas.

 

Necesariamente explicar algo complejo de una forma tan general y a un publico heterogeneo (suponiendo que alguien lea esto) me lleva a poner ejemplos ingenuos por un lado y poco precisos seguramente, por otro. Si sirven para iluminar el camino, aunque sea por el arcen, me dare por satisfecho. Y si alguien piensa que no son los mejores, reconozco de antemano que tendra razon. Ea! empecemos el largo camino con un pasito pequeño, como empiezan todos.

 

Sistemas lineales

 

Primeramente me centro en explicar lo que es un sistema lineal. En algebra de EGB recordareis que una recta era representada matematicamente por algo como y=a*x+b, donde a y b son numeros fijos o parametros. La diferencia entre los parametros y las llamadas variables (x dependiente e y independiente) es que estas ultimas toman todo un rango de valores mientras que los parametros permanecen fijos. Cuando a la x se le asigna toda una gama de valores numericos la y toma otro valor que viene dado por la ecuacion dada. Si se pinta sobre unos ejes lo que vemos es una linea recta donde la pendiente o inclinacion es a. Si a es muy grande la linea esta muy inclinada y si a vale 0 es justamente una linea horizontal (estos primeros ejemplos ni siquiera los pinto y con Excel podeis hacerlo). La b solo sube o baja verticalmente la linea y no le prestare mucha atencion. Lo esencial es darse cuenta de que para una anchura dx empecemos donde empecemos en el eje x le corresponde una misma anchura dy. Por ejemplo a la recta y=3x+78 le corresponde una anchura dy 3 veces mayor que la anchura dx elegida, sea cual sea esta y empiece donde empiece a contarse. Si elegimos que dx=10 contado desde x=5 (o sea desde x=5 hasta x=15) la y varia desde y=3*5+78=93 hasta y=3*15+78=123. La diferencia en y (o sea dy) vale 30, es decir 3*10. Si esto lo repetimos para cualquier otro rango de x comprobaremos que el rango de y siempre es 3 veces mayor (en general a veces)

 

 

 

Diremos que un sistema que verifique alguna propiedad de este estilo es un sistema lineal. Naturalmente en lugar de una ecuacion algebraica sera diferencial y en lugar de x e y representar numeros seran funciones, pero variables al fin y al cabo. Las propiedades de linealidad subyacentes, independientemenete del tipo de elementos con los que se trate, son las que importan. Mas exactamente esto; que a variaciones pequeñas de la variable INdependiente le corresponde, en una relacion constante, otra variacion pequeña de la variable DEpendiente. Explicar esto es del genero bobo pero en algun punto del camino dejareis de pensarlo.

 

Veamos que ocurre con la siguiente curva, algo menos sencilla que una recta. Esta es la parabola, que podemos representarla por ejemplo como y=ax^2+bx+c. Para los valores a=1, b=2 y c=3 vereis que si contamos las x desde x=0 a x=10 tenemos que y varia desde y=3 a y=123 (dy=120) o sea parece como que dy=12 dx. Para ver si existe linealidad comprobemos si ese mismo 12 se mantiene al variar el rango. Si ahora variamos x desde x=0 a x=1 (dx=1) la y varia desde y=3 a y=6 (dy=3). El factor que antes era 12 ahora es un 3. Podemos hacer las pruebas que sean que siempre llegaremos a esta conclusion; deja de existir linealidad.

 

Los sistemas lineales son muy importantes, principalmente por 3 razones. La primera es que son sobre los que mas trabajo se ha realizado porque eran los mas simples y los unicos que se podian resolver sin ordenador (antes de 1960). La segunda se podria resumir en algo asi; "el efecto total sobre un sistema lineal es la suma de los efectos parciales" de forma que se puede resolver cada problema parcial por separado (que siempre sera mas sencillo) y despues sumarlos. La tercera razon es muy potente y es que cualquier sistema, aunque sea no lineal, presenta comportamiento lineal a pequeña escala de alguna/s de las variables y con un alcance limitado. Si nos salimos de ahi caemos en terreno resbaladizo (no existencia o unicidad de las soluciones por ejemplo). Hay bastantes mas motivos pero creo que estos son los mas rotundos. Baste con estos comentarios de momento. No quiero extenderme mas.

Armónicos de la realidad

Armónicos de la realidad No te voy a aburrir, ya sé que el título es raro. Voy a intentar un truco de magia: que te sorprendas al descubrir lo que hay bajo tus pies. Concéntrate al comienzo, y disfrutarás más al final.

Definir la realidad parece sencillo. ¿Tú cómo la defines? Al pensarlo dos veces, te das cuenta de que…, bueno, no es tan sencillo. ¿Por qué? Porque percibimos a la realidad a través de sólo 5 sentidos. La Madre Naturaleza eligió 5 para nuestro disfrute, es lo que hay. A su vez, cada uno de ellos tiene un rango de acción limitado, como nuestra visión que sólo ve del rojo al azul, una pequeña parte de la luz total que baña el espacio, lo que los científicos serios llaman “el espectro electromagnético”. Igual puede decirse del oído, gusto, tacto y olfato: todos son activos dentro de un rango limitado.

Y desgraciadamente, la conclusión es que somos seres así, limitados. No percibimos mucha de la información que fluye a nuestro alrededor. De hecho, es muy poca. Cientos de emisoras de radio y televisión bombardean tu cuerpo ahora mismo con sus ondas cada segundo, sin que lo notes (detente y piénsalo, imagina tu cuerpo atravesado en silencio por voces y músicas inaudibles, quizá llegues a sentir algo parecido al vértigo); y no hablemos de los neutrinos, que atraviesan tus espacios huecos (que son más de los que crees) en cantidades inimaginables. Si captas bien la idea, te marearás un poco. Busca si quieres cuántos neutrinos atraviesan cada centímetro cuadrado de tu piel, y agárrate bien a la silla cuando leas el número.

Pero terminemos de recopilar datos, porque a algún sitio querremos llegar: Somos limitados, y con nuestros sentidos sólo captamos una fracción de la realidad. Y como nuestro intelecto se alimenta de la información que recibe de los sentidos, deducimos que nuestra representación intelectual del mundo también es reducida. Nuestra imagen de la realidad ha de ser necesariamente incompleta. ¿Vale hasta aquí el razonamiento? ¿Dónde acaba este viaje?

A nuestra imagen de la realidad le faltan datos, que suplimos con ayuda de dispositivos como telescopios (que amplían nuestra vista), perros (amplían el olfato), micrófonos ultrasensibles (amplían el oído), etc. Así vamos añadiendo la información que falta para poder decir que sabemos qué o cómo es la realidad.

Como el músico que, a la melodía principal de una composición, añade nuevos instrumentos, cada uno con sus matices propios (armónicos), hasta que la completa. O como el físico que, combinando armónicos, consigue reconstruir la descripción de un fenómeno. Armónicos… hemos llegado al título.

Y todo esto viene al caso de unas pequeñas cucarachas. ¿Cóooomoooo? ¡Sí! He dicho cu-ca-ra-chas. ¿Sorprendido por el giro argumental? ¿Quieres razones? Atento:

Ayer, a eso de la 1:30 de la madrugada, descubrí una pandilla de estos insectos en un armario de la cocina, en el interior de una bolsa con dos croissants. Eran crías, de unos 2mm de largo. ¡Qué ascoooo! Al coger la bolsa, algunas se dieron a la fuga por el armario. ¡Había muchas! Rápido: el insecticida. Flush por aquí, flush por allá, comienzo a toser, ¡cough!, ¡cough!, yo mismo me asfixio con tanto veneno. Finalmente, el armario está limpio (o eso creo…). La bolsa, con 5 o 6 crías dentro que no pudieron huir, es herméticamente sellada y arrojada a la basura. Pero si eran crías… ¿Qué hacían allí, abandonadas a su suerte? Efectivamente, un poco más a la derecha, junto a un sobre de palomitas… ¡Dos centímetros de cucaracha con patas me miraban de frente, oculta bajo una sombra! ¡Me observaba, diría yo! ¡Subidón de adrenalina! ¡Flusssssh, flusssssssssh, flusssssh, flussssh,…!

Terminó finalmente la lucha (desigual a mi favor, por cierto), y la razón se asomó de nuevo a la realidad. La razón es analítica, divide, descompone, entonces comprende y a partir de ahí recompone los acontecimientos. Tras aquella aventura, que ahora traduzco y llamo “mi percepción de un fenómeno”, se escondían armónicos, matices que fácilmente podía haber pasado por alto.

Aquellas pequeñas crías se alimentaban de mis croissants. ¿Qué tiene de raro? Es normal. ¿Dónde está ese lado de la realidad no percibido, ese armónico? Aquí: las cucarachas se alimentaron de pequeños bocaditos de croissant, e incorporaron ese alimento a su organismo, alcanzando sus 2mm de longitud. Lo mismo hizo su madre unas semanas antes hasta alcanzar 2cm. Atención a la descripción OBJETIVA del fenómeno (quien lo dude, que lo diga): el croissant (azúcar+hidratos de carbono), ¡se había convertido en cucaracha! Transmutación propia de un argumento de ficción. Piensa en ello, no sigas leyendo, detente. Moléculas que estaban presentes en el croissant cambiaron de lugar y se reensamblaron en forma de pequeña cucarachita. ¿Puedes caer en la cuenta, como caí yo, de que es INCREÍBLE?

La materia inerte de un croissant, aburrida e incompetente en su bolsa de plástico, se convierte en abdomen, quitina, patitas, adquiere movimiento, vida en definitiva. ¿A esto no lo llamaban milagro en la época de nuestros antepasados cercanos?

He aquí el armónico, superpuesto a la realidad pero muchas veces olvidado: a tu alrededor, en los sucesos más prosaicos y banales, se dan fenómenos de complejidad extrema, inabarcable y vertiginosa, comparables (o superando) al milagro bíblico de los panes y los peces. Ocurre constantemente, frente a tus narices, en ese mosquito que pasa frente a ti, en esa mosca que se posa en tu brazo, increíbles maquinas de altísima precisión, la envidia del mejor ingeniero, estructuras tridimensionales de moléculas muy ordenadas, plenamente funcionales (¡vuelan, nadan, corren, se detienen y te miran…!) emergiendo de moléculas desordenadas como las de un simple croissant.

¿Recuerdas aquél libro de biología aburrido, que tuviste que tragarte para aprobar aquellos exámenes? Vuelve a mirarlo, y lo verás de otra forma: son los planos de funcionamiento de las máquinas vivas, unos dispositivos asombrosos que (si recordamos a Darwin) se han hecho a sí mismos a lo largo de miles de millones de años. Un dios que produjese milagros sería maravilloso, pero un milagro que emergiese por sí solo sin necesidad de un dios… sería el más increíble de los milagros.

Ese milagro está ahora frente a ti, detrás de ti, a tu alrededor y dentro de ti, está en tu iris que se cierra y abre solo, en tu cristalino que enfoca solo, en tu corazón que late solo, en tus intestinos y sus movimientos digestivos de los que casi ni te enteras. Lo viste ayer, y lo verás mañana, pasarás por encima y debajo, pero te pasa lo que a mí: que miras y no ves. Está en esa mariposa, en ese gorrión, puede que hasta en las piedras, está en el resto de actores secundarios que hay a tu alrededor y que siempre son invisibles en tu vida. Resulta que ellos, y tú con ellos, todos sois milagros de una precisión… incomprensible.

Te recomiendo esta película: Génesis, que nos recuerda que dentro y fuera de nuestro mundo antinatural de cemento hay fenómenos que nuestros antepasados veneraban pero nosotros olvidamos.

http://www.babadu.com/peliculas/1/15/index.php


Piensa en ello, y disfruta del vértigo.






P.D.: Todos los razonamientos aquí expuestos han intentado ser tan objetivos como una ecuación de mecánica. Si no lo he conseguido, ya me regañaréis.

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caos determinista y caos cuantico (I)

caos determinista y caos cuantico (I) CAOS PARA DUMMIES (I)Bueno, ante todo, haciendo un poco el pelota dar las gracias a Berni por el blog y su sentido de la oportunidad. Recojo el guante que me ha lanzado, o al menos asi lo hemos interpretado todos, ¿verdad? e intentare contaros un poco de lo que se sobre la dichosa teoria del caos. Debo decir para los que no me conoceis que hace falta poco para tirarme de la lengua en estos temas y que empiece a hablar. Tambien debo decir que no soy un verdadero experto y no trabajo en cosas de caos (o dinamica no lineal) por lo que puede colarse alguna imprecision que no afecta al “concepto” o cosa general. Es obvio que el caos esta de moda (o lo ha estado hasta hace poco pq con el vertigo impuesto de las modas uno nunca sabe) y hasta los politicos y periodistas hablan sin rubor de ello. Basta con poner “chaos” en Google para ver montones de webs relacionadas. Asi que antes de nada habra que decir que es el caos (aunque adelanto que no es simple) y su famosa teoria para poder seguir adelante y poder explicar por que esta de moda y que es lo que tanto atrae de ella. Me comprometo a no poner ni una sola ecuacion y cuando aparezca un concepto que creo que se sale de lo normal intentare definirlo al hilo de forma clara pero sacrificando necesariamente precision a costa de comprension. El que quiera puede ver un articulo a un nivel ligeramente mas alto (tampoco mucho mas) sobre esto puede pedírmelo. He tenido oportunidad de comprobar hablando con muchas personas “que han leido algo” de esto, que hay bastante “caos” en el concepto primordial de lo que es o deja de ser el caos. Tienden a buscar un trasfondo filosofico detras, que lo tiene y muy profundo, pero para ir en busca de esta filosofia hay que ir bien pertrechado y con las ideas esenciales muy claras.  Para empezar hay que distinguir entre dos tipos de caos completamente diferentes en origen, aunque parece probable que haya alguna conexión entre ellos, y de haberlas serian poco importantes en lo que a su esencia individual se refiere. Me refiero al caos cuantico y al caos determinista. Los dos son independientes en su concepcion y pueden existir uno sin el otro, al menos desde un punto de vista mAcroscopico. Antes de entrar en distinciones contare la historia por donde deben comenzar todas, por el principio. Caos es desorden y confusion, algo imposible de organizar, pero desde un punto de vista matematico o fisico nos referimos casi a lo contrario.  La llegada de los ordenadores, hacia los 60-70, ha hecho que algunos fenomenos relativamente simples pero sin solucion analitica (en argot se dice que un problema presenta solucion analitica si, basicamente, puede escribirse en un papel) puedan ser resueltos de forma numerica. Y la sorpresa surgio al comprobar que cierto tipo de problemas muy sencillos en su planteamiento tienen una solucion compleja (numerica o no es lo de menos y no resta exactitud ni generalidad). Si hablamos de problemas complicados, la gran mayoria, por cierto, de los problemas reales, lo anterior sigue siendo cierto naturalmente pero deja de ser tan sorprendente, claro. Hay que dejar claro que cuando me refiero a ecuaciones, me refiero a ecuaciones diferenciales, bien ordinarias, bien en derivadas parciales, no ecuaciones algebraicas tipo ecuacion de segundo grado. Las  ecuaciones diferenciales mimetizan matematicamente el comportmiento de la mayoria de los sistemas fisicos conocidos. Se elige un “algo” de la naturaleza, se limpia de polvo y paja, se hace un modelo matematico simplificado pero realista de ello y ya se tiene la ecuacion diferencial. Para cada sistema fisico existe una ecuacion, la cual puede ser igual si los sistemas son similares en lo fundamental. Para no complicar mucho la cosa y que se entienda todo basta decir que las ecuaciones diferenciales (ED) son muy similares a cajas en las que metemos el “estado” de un sistema, que funcionan durante un tiempo t que asignamos y al final, cuando abrimos la tapa, lo que hay dentro es el “estado” del sistema tras el tiempo t. De lo anterior es obvio que para resolver una ED es necesaria, ademas de la caja, meter algo dentro. Es decir, se requiere una condicion inicial (en ecuaciones en derivadas parciales ademas se requieren una condiciones de contorno, pero de momento no entrare al trapo). Aunque la caja y su mecanismo sea el mismo, si los estados iniciales que se meten dentro son poco o muy diferentes, los estados en el tiempo t sera poco o muy distintos.  Retomando el discurso, la aludida complejidad de las soluciones de problemas relativamente simples de enunciar pero sin solucion analitica (y no comprobables hasta que hubo ordenadores) es una complejidad singular. No reside en que la solucion, si pudiera escribirse en papel, ocupase varias paginas ni en que el programa para resolverlos tenga muchas lineas ni nada de ese tipo. Consiste la rareza en que la evolucion temporal a un plazo mas o menos largo es impredecible. Esto hay que explicarlo mas despacio porque tiene mucha miga. Hay que retroceder hasta el siglo 19, el siglo del determinismo cientifico en el que el éxito de la mecanica y de la fisica en general, heredadas de Newton y su calculo integral, permitieron descubrir nuevos planetas sin telescopio y un desarrollo de tecnologia que todavia hoy usamos. El éxito se hizo absolutamente omnimodo y desemboco en una fe ciega en la ciencia. Hay que ponerse en la epoca y el lugar de esos cientificos que confiaban ciegamente en el determinismo de sus ecuaciones. Consideraban (y consideramos) los sistemas fisicos como cajas llenas de engranajes con una disposicion inicial (unas veces podia ser una, otros dias otra distinta) y que dandole a una manivela escupia lo que iba a ocurrir en el futuro. Solo hacia falta conocer los mecanismos de la caja y el estado inicial (o condicion inicial) del sistema para prever su comportamiento futuro. En la primera mitad del siglo 20 el desarrollo de la mecanica cuantica abrio nuevas formas de ver la naturaleza y a pesar de que el 99% de la fisica de andar por casa, de la de todos los dias, sigue siendo newtoniana, cambio para siempre la disposicion y precaucion con la que la nueva generacion de cientificos abordaria y estudiaria los fenomenos macroscopicos. Quiero volver a remarcar que la fisica cuantica solo pasa de refilon en todo esto y al final, si me acuerdo, contare algo de caos cuantico. De momento la aparcamos y seguiremos viviendo como si no existiera. Por cierto, un sistema fisico se dice que tiene un comportamiento determinista si conocido en un instante dado su estado es posible determinar su evolucion posterior de forma que podremos conocer su estado en un instante futuro. O sea, que el estado presente determina el futuro (de forma inequivoca) y todo el universo se comportaria como una maquina de precision. Con esta tradicion y fe determinista se entiende mejor la sorpresa de que, en los 60, al darle a la manivela (casi de forma literal pq los ordenadores de esos dias no eran como el portatil desde el que esto escribo) el resultado unas veces es uno y otras veces otro. ¿Como es posible? C'est ne pas posible! exclamaba Laplace desde su tumba. Las explicaciones posibles a bote pronto, que se me ocurren son:-Las ecuaciones no son deterministas-Que existan variables ocultas o aparicion de efectos no tenidos en cuenta en el modelo que se resuelve-Sensibilidad a la condiciones iniciales La primera posibilidad es plausible y en efecto existen sistemas con elementos que introducen algun tipo de aleatoriedad de forma que su evolucion sea imprevisible pero resulta que la impredecibildad ocurre tambien en sistemas sencillos, sin azar. La segunda posibilidad es tambien probable (y han ocurrido casos con efectos despreciados o no introducidos en las primeras ecuaciones y que despues se han mostrado decisivos) pero tras escoger un sistema dado, simple (un pendulo ligeramente modificado, por ejemplo) y analizarlo a fondo estos efectos “extraños” se han deshechado por inexistentes. La tercera opcion es la que queda. ¿Que quiere decir exactamente “sensibilidad a las CI?. Pues quiere decir que si a un sistema dado, cumpliendo las mismas ecuaciones, se le introducen dos CI muy ligeramente diferentes, tras un tiempo t dandole al manubrio los estados correspondientes son muy distintos (las soluciones divergen en el tiempo, en argot), mucho mas de lo esperable. Es decir, la cosa es parecida a esto; se hacen dos experimentos identicos en una condiciones del entorno y del propio sistema lo mas controladas posible y se observa que tras un cierto tiempo los resultados empiezan a ser cada vez mas distintos.  Esto no ha sido algo normal ni obvio en los sistemas estudiados hasta entonces (los cuales eran en su mayoria lineales que eran los resolubles a mano, dejemoslo ahi) y surgen muchas preguntas. La primera es ¿como estan relacionados la “distancia” entre los dos estados iniciales con el tiempo para el cual comienzan a verse las discrepancias en los resultados? Por que bien pudiera ser el caso en que sean errores acumulativos por el sistema de resolucion de las ecuaciones (errores provinientes del hecho de resolver las ecuaciones con maquinas en vez de a mano si esto fuera posible) o bien por el proceso de medida en el caso de los experimentos. Ambos tipos de errores estan desterrados de la ciencia actual. Los calculos se realizan mediante algoritmos consistentes y cuyos errores estan acotados de forma conocida y previsible. O sea, yo te doy la solucion a un problema con una precision de 3 decimales y tu me diras que es poca. Yo entonces te pregunto por la precision requerida y tras un cierto tiempo, mas largo cuanta mayor sea la precision que pides, la maquina me devuelve el resultado con dicha precision. Por si esto fuera poco y no os fiais todavia, los calculos se realizan de forma independiente por mucha gente y los experimentos se repasan y realizan en diferentes laboratorios de forma que para la mayoria de los cientificos es suficiente aval. Resumiendo, que se puede descartar la divergencia en la solucion debido a errores achacables a los metodos de resolucion o medida y empezamos a creer que la fuente de la divergencia esta en la propia naturaleza de las ecuaciones que son simples traducciones matematicas de aspectos de la naturaleza. Entonces vuelvo a la pregunta ¿como estan relacionados la “distancia” entre los dos estados iniciales con el tiempo para el cual comienzan a verse las discrepancias en los resultados? Pues depende del grado de “caoticidad” del sistema. Si es muy caotico diverge enseguida, si no tardara mas. Una medida de esta divergencia o de lo caotico que un sistema es la da el exponente de Lyapunov. Otra pregunta; ¿de donde viene esa fuente de divergencia y por que antes, en varios siglos de ciencia, no se habia visto? Pues tras una explosion en los 70 de descubrimientos de sistemas y ecuaciones que presentaban caos, en los 80 se concluyo que todos los sistemas caoticos reunen estas dos carcateristicas; son no lineales y que intervengan 3 o mas grados de libertad o variables independientes efectivas. Esto por si solo no es condicion suficiente para que el sistema sea caotico  y existen sistemas no lineales con millones de variables que no son caoticos, por ejemplo el flujo laminar de un fluido. Esto puede ocurrir porque no haya ni siquiera tres grados de libertad a pesar de que haya millones de variables, es decir para la descripcion matematica del sistema solo se requieren menos de tres variables efectivas o grados de libertad. Sin embargo la mayor parte de los sistemas fisicos depende, ademas de las propias variables que definen su estado, de unos parametros o variables que son como los  diales de la radio. Sintonizan el sistema en una condicion dada y son ajustables por nosotros (a diferencia de las verdaderas variables). Es tipico en sistemas susceptibles de desarrollar caos que vayamos regulando el dial y el sistema no presenta caos pero de repente, a partir de un determinado valor del dial, el sistema se empieza a volver caotico. Esta transicion al caos no ocurre (salvo en bifurcaciones catastroficas, si, asi se llaman) de forma abrupta sino que es precedida de varias etapas intermedias siendo en cada una mas extraño el comportamiento que en la anterior. Me ha quedado por explicar algo importante (aparte de muchas otras cosas) y sin lo cual no se relacionan estas dos ideas; la simple divergencia en el comportamiento de un sistema fisico y la complejidad asociada al concepto de caos. ¿una cosa lleva a la otra? Evidentemente si, si no no se explica la explosion en investigacion en estas cosas. ¿como se va de una cosa a la otra? Esto ya es mas complicado y lo dejo para la proxima charla. El tema no ha hecho mas que empezar y por el camino han ido quedando muchas bifurcaciones que llevarian a otras disquisiciones que no he querido tomar para no desviarme. No quiero seguir sin recibir comentarios y que me digais si os enterais y si os interesa. Solo un ultimo apunte; una de las implicaciones inmediatas es que si la casi totalidad de los sistemas fisicos (dejamos fuera unos pocos; los discretos y los modelados por ecuaciones integrodiferenciales) que modelan comportamientos naturales y biologicos son no lineales y suficientemente complejos para que exhiban mas de 2 grados de libertad, con toda seguridad presentan caos. Si damos por supuesto, pero sin explicacion por el momento, que la divergencia en el tiempo del comportamiento del mismo sistema ante dos ajustes iniciales casi iguales lleva irremediablemente a un comportamiento caotico, se entendera mejor la celebre frase de la mariposa de Lorentz. Como todos los ejemplos didacticos es muy exagerado pero pone de relieve que el aleteo de la mariposa, que ES la diferencia entre el estado con y sin mariposa de toda la atmosfera terrestre, que esa minima diferencia hace que tras un tiempo (muy largo seguramente) pueda o no provocar un huracan.

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